Question

2．已知M是曲線y=lnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x上的任一點(diǎn)，若曲線在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均不小于$\frac{π}{4}$的銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． （-∞，2+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 由已知中M是曲線y=lnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x上的任一點(diǎn)，曲線在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均不小于$\frac{π}{4}$的銳角，則曲線在M點(diǎn)處的切線的斜率不小于1，即曲線在M點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值不小于1，根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，運(yùn)用基本不等式可得關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．

解答 解：∵y=lnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-a）x，x＞0，
∴y′=$\frac{1}{x}$+x+1-a≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1-a=3-a，
若曲線在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均不小于$\frac{π}{4}$的銳角，
則3-a≥1，
解得a≤2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線的傾斜角，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，其中利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于a的不等式是解答本題的關(guān)鍵．