Question

數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）據（1）猜想{a_n}的通項公式；
（3）用數學歸納法證明上述猜想；
（4）若題目已知條件不變，只要求求數列{a_n}的通項公式怎么解呢？

Answer 1

考點：數學歸納法,數列遞推式,歸納推理

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：本題先根據題目中遞推關系式，由a₁=

1

2

，求出a₂、a₃、a₄，并推測a_n的表達式，然后用數學歸納法加以證明，得到本題結論，也可以運用構造 新數列 的方法，對新數列的通項公式進行研究，從而得到數列{a_n}的通項公式，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*），
∴a1=

1

3-1

，
∴a₂=

a1

2a1+3

=

1 2

2× 1 2 +3

=

1

8

=

1

32-1

，
a3=

a2

2a2+3

=

1 8

2× 1 8 +3

=

1

26

=

1

33-1

，
a₄=

a3

2a3+3

=

1 26

2× 1 26 +3

=

1

80

=

1

34-1

，
（2）據（1）猜想{a_n}的通項公式為：a n=

1

3n-1

，n∈N^*．
（3）下面數學歸納法證明．
證明：①當n=1時，
a₁=

1

3-1

=

1

2

，
∴n=1時，猜想成立，
②假設n=k，k∈N^*時，猜想成立，
即ak=

1

3k-1

，
∴ak+1=

ak

2ak+3

=

1 3k-1

2 3k-1 +3

=

1

2+3(3k-1)

=

1

3k+1-1

，
∴n=k+1時，猜想仍成立，
由①②知：a n=

1

3n-1

，n∈N^*．
（4）用構造法求數列求通項
∵數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

an

2an+3

（n∈N^*），
∴a_n≠0，

1

an+1

=

2an+3

an

=

3

an

+2，
∴

1

an+1

+1=3(

1

an

+1)，
∵

1

a1

+1=3，
∴新數列{

1

an

+1}是以3為首項，以3為公比的等比數列，
∴

1

an

+1=3×3^n-1=3ⁿ，
∴a n=

1

3n-1

，n∈N^*．

點評：本題考查了數學歸納法，通過猜想再證明的方法求數列的通項，也可用構造新數列的方法求數列的通項，本題難度適中，屬于中檔題．