Question

5．在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），直線l與x，y軸的正半軸分別交于A，B兩點．
（1）求△OAB內切圓C的普通方程，并化為參數方程及極坐標方程；
（2）設P是圓C上任一點，求|PO|²+|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把參數方程化為普通方程，求得A、B的坐標，求得△OAB內切圓C的普通方程，再把它化為極坐標方程．
（2）設P（x，y）是圓C上任一點，則利用參數方程化簡|PO|²+|PA|²+|PB|² 為 20-2sinθ，再利用正弦函數的值域求得它的范圍．

解答 解：（1）把直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），化為參數方程為4x+3y-12=0，
它與x，y軸的正半軸分別交于A（3，0），B（0，4）兩點，a＞0．
設△OAB內切圓C的圓心為C（a，a），由a=$\frac{|4a+3a-12|}{\sqrt{16+9}}$，求得a=6（舍去），或 a=1，
故△OAB內切圓C的普通方程為（x-1）²+（y-1）²=1，化為參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=1+sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數）；
化為極坐標方程為（ρcosθ-1）²+（ρsinθ-1）²=1．
（2）設P（x，y）是圓C上任一點，
則|PO|²+|PA|²+|PB|² =x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3x²+3y²-6x-8y+25
=3（1+cosθ）²+3（1+sinθ）²-6（1+cosθ）-8（1+sinθ）+25=20-2sinθ，
由于sinθ∈[-1，1]，∴20-2sinθ∈[18，22]，即|PO|²+|PA|²+|PB|²的取值范圍為[18，22]．

點評 本題主要考查普通方程、參數方程、極坐標方程間的互化，正弦函數的值域，屬于基礎題．