Question

已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F₂（2，0），漸近線(xiàn)方程為y=±

3

3

x
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)l：x=my

+2

與雙曲線(xiàn)C右支交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求證：

1

|F2A|

+

1

|F2B|

為定值．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F₂（2，0），漸近線(xiàn)方程為y=±

3

3

x，建立方程組，從而可求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）直線(xiàn)l：x=my

+2

與雙曲線(xiàn)C聯(lián)立，利用直線(xiàn)l：x=my

+2

與雙曲線(xiàn)C右支交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，建立不等式，可求m的取值范圍；
（3）利用韋達(dá)定理，結(jié)合|F2A|=e(x1-

a2

c

)=ex₁-a，|F2B|=e(x2-

a2

c

)=ex₂-a，可得結(jié)論．

解答：（1）解：設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為

x 2

a2

-

y 2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)F₂（2，0），漸近線(xiàn)方程為y=±

3

3

x
∴

a2+b2=4 b a = 3 3

，∴b²=1，a²=3
∴雙曲線(xiàn)C的方程為

x 2

3

-y2=1；
（2）解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則直線(xiàn)l：x=my

+2

與雙曲線(xiàn)C聯(lián)立，消去x可得（m²-3）y²+4my+1=0
∵直線(xiàn)l：x=my

+2

與雙曲線(xiàn)C右支交于A(yíng)、B兩個(gè)不同點(diǎn)，
∴y₁y_2＜0
∴

1

m2-3

＜0
∴-

3

＜m＜

3

；
（3）證明：由（2）知，y1+y2=-

4m

m2-3

，y1y2=

1

m2-3

∴x1+x2=

-12

m2-3

，x1x2=

-3m2-12

m2-3

|F2A|=e(x1-

a2

c

)=ex₁-a，|F2B|=e(x2-

a2

c

)=ex₂-a
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

1

ex1-a

+

1

ex2-a

=

2 3 × -12 m2-3 -2 3

4 3 × -3m2-12 m2-3 -2× -12 m2-3 +3

=2

3

為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．