Question

7．已知直角坐標系xoy中，直線過點P（1，0），且傾斜角α為鈍角，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標．曲線C的極坐標方程為ρ²（1+2sin²θ）=3
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C直角坐標方程；
（2）若α=$\frac{5π}{6}$，直線l與曲線C相交于不同的兩點M，N，求|MN|的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直角坐標系xoy中，直線過點P（1，0），且傾斜角α為鈍角，能求出直線l的標準參數(shù)方程，由由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出曲線C的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出直線l參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，把直線l代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1中，得3t²-2$\sqrt{3}t$-4=0，由此能求出|MN|．

解答 （本小題滿分10分）【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】
解：（Ⅰ）∵直角坐標系xoy中，直線過點P（1，0），且傾斜角α為鈍角，
∴直線l的標準參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)，其中α∈（$\frac{π}{2}$，π）），
∵曲線C的極坐標方程為ρ²（1+2sin²θ）=3，
∴ρ²+2ρ²sin²θ=3，
由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，得：
曲線C的直角坐標方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1．       …（4分）
（Ⅱ）∵α=$\frac{5π}{6}$，∴sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，
把直線l代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1中，可得3t²-2$\sqrt{3}t$-4=0．
∵P（1，0）在橢圓內(nèi)部，所以△＞0，且點M，N在點P異側(cè)，
設(shè)點M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則${t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{4}{3}$，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．      …（10分）

點評 本題考查直線的參數(shù)方程、曲線的直角坐標方程的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標、直角坐標互化公式、韋達定理的合理運用．