Question

（本小題滿分15分） 已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 焦點(diǎn)為F(0，1).

（1） 求拋物線C的方程；

（2）在拋物線C上是否存在點(diǎn)P， 使得過點(diǎn)P

的直線交C于另一點(diǎn)Q，滿足PF⊥QF， 且

PQ與C在點(diǎn)P處的切線垂直.若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  解: 設(shè)拋物線C的方程是x² = ay, 高則,        即a = 4 .

故所求拋物線C的方程為x² = 4y .             …………………(5分)

(2) 解:設(shè)P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) , 則拋物線C在點(diǎn)P處的切線方程是： ,

直線PQ的方程是：  .

將上式代入拋物線C的方程, 得：,

故 x₁+x₂=, x₁x₂=－8－4y₁,所以 x₂=－x₁ , y₂=+y₁+4 .

而＝(x₁, y₁－1), ＝(x₂, y₂－1),×＝x₁ x₂＋(y₁－1) (y₂－1)＝x₁ x₂＋y₁ y₂－(y₁＋y₂)＋1＝－4(2+y₁)+ y₁(+y₁+4)－(+2y₁+4)+1＝－2y₁ －－7＝(＋2y₁＋1)－4(+y₁+2)＝(y₁＋1)²－＝＝0,

故 y₁＝4, 此時(shí), 點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±4,4) .  經(jīng)檢驗(yàn), 符合題意. 

所以, 滿足條件的點(diǎn)P存在, 其坐標(biāo)為P(±4,4). ………………(15分)

 

【解析】略