Question

如圖所示，設(shè)曲線y=

1

x

上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點(diǎn)在曲線上y=

1

x

，設(shè)A_n的坐標(biāo)為（a_n，0），A₀為原點(diǎn)
（1）求a₁，并求出a_n和a_n-1 n∈N^*之間的關(guān)系式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

2

an-1+an

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知a1=

a1

2

+

2

a1

，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，求出B_n點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，再根據(jù)B_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，坐標(biāo)滿足函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之間的關(guān)系式．
（2）由（1）知數(shù)列{an2}是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由b_n=

2

an-1+an

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（1）∵曲線y=

1

x

上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點(diǎn)在曲線上y=

1

x

，設(shè)A_n的坐標(biāo)為（a_n，0），A₀為原點(diǎn)，
∴a1=

a1

2

+

2

a1

，
解得a₁=2．
過(guò)B_n點(diǎn)作B_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，
∴|BnH|=

1

2

|An-1An|=

an-an-1

2

，
∴B_n點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，
∴H點(diǎn)為線段A_n-1A_n的中點(diǎn)，
∴H點(diǎn)橫坐標(biāo)為

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x軸，∴B_n點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為

an+an-1

2

，
∵B_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

2

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，
∴

an-an-1

2

•

an+an-1

2

=1
∴an2-an-12=4．
（2）∵an2-an-12=4，a₁=2，
∴數(shù)列{an2}是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，
∴an2=4n，
∴an=2

n

．
（3）∵b_n=

2

an-1+an

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（

1

-

0

）+（

2

-

1

）+…+（

n

-

n-1

）
=

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用．