Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）記函數(shù)的圖象為曲線C．設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線C上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x₀，y₀），使得：①；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)F（x）奪在“中值相依切線”，

試問：函數(shù)f（x）是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

21解：（Ⅰ） 函數(shù)的定義域是.                   ………1分

由已知得，.         ………2分

ⅰ 當(dāng)時(shí), 令,解得;函數(shù)在上單調(diào)遞增

ⅱ 當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或;

函數(shù)在和上單調(diào)遞增

②當(dāng)時(shí)，即時(shí), 顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

③當(dāng)時(shí)，即時(shí), 令,解得或

函數(shù)在和上單調(diào)遞增                  。。。。。。。。。。。6分

綜上所述:

⑴當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增

⑵當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增

⑶當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；

⑷當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增   ………….7分

(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.

設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，

則，.

                          …………9分

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

，

依題意得：.

化簡可得： ， 即=.   ….11分

設(shè) ()，上式化為：,

.   令,.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052517033023439558/SYS201205251705461093541563_DA.files/image042.png">,顯然，所以在上遞增,

顯然有恒成立.

所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”. …..14分

 

【解析】略