Question

10．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究本地的城市道路與汽車(chē)保有量之間的關(guān)系（即某地區(qū)道路的總里程數(shù)和該地區(qū)擁有的汽車(chē)數(shù)量之間的關(guān)系）時(shí)，得到了近8年的城市道路總里程x（單位：百公里）和汽車(chē)保有量y（單位：百輛）的數(shù)據(jù)如下表：

數(shù)據(jù)編號(hào)	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015
道路里程數(shù)x	120	130	140	150	160	170	180	190
汽車(chē)保有量y	144	154	160	168	176	180	186	190

（Ⅰ）若某年的兩個(gè)值都不小于170時(shí)，我們將該年稱(chēng)為“出行便捷年”．現(xiàn)從這8年中任取5年，求恰有2年為“出行便捷年”的概率（請(qǐng)用分?jǐn)?shù)作答）．
（Ⅱ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y和x的相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與x之間線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．如果具有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線(xiàn)性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考公式：相關(guān)系數(shù)$r=\frac{{\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sqrt{\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}\sum_{i=1}^8{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}}}}$；回歸直線(xiàn)的方程是：$\hat y=\hat bx+a$，
其中$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$a=\overline y-\hat b\overline x$，${\hat y_i}$是與x_i對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值．
參考數(shù)據(jù)：$\overline x=155$，$\overline y=169.75$，$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}=4200$，$\sum_{i=1}^8{{{（{y_i}-\overline y）}^2}}=1827.5$，$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}=2750$，$\sqrt{4200}≈64.80$，$\sqrt{1827.5}≈42.75$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：從這8年中任取5年的所有情況總數(shù)為${C}_{8}^{5}$，早任取的5年中，恰有2年為“出行便捷年”的所有情況的總數(shù)為${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$，恰有2年為“出行便捷年”的概率P（X）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{5}}$=$\frac{15}{28}$；
（Ⅱ）變量y和x的相關(guān)系數(shù)：r=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{8}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{2750}{\sqrt{4200}•\sqrt{1827.5}}$=$\frac{2750}{2770.469}$=0.99，兩變量的線(xiàn)性相關(guān)性強(qiáng)，設(shè)線(xiàn)性回歸方程為：$\widehat{y}$=$\widehat$x+a，利用最小二乘法即可求得$\widehat$$\widehat$，由線(xiàn)性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），則a=$\overline{y}$-0.65$\overline{x}$=69.00，即可求得y與x的線(xiàn)性回歸方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：某年的兩個(gè)值都在170或以上的所有的可能情況總數(shù)為：3，
從這8年中任取5年的所有情況總數(shù)為：${C}_{8}^{5}$，
早任取的5年中，恰有2年為“出行便捷年”的所有情況的總數(shù)為${C}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$，
∴X表示恰有2年為“出行便捷年”的事件，
P（X）=$\frac{{C}_{5}^{3}{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{5}}$=$\frac{15}{28}$；
（Ⅱ）根據(jù)參考公式，變量y和x的相關(guān)系數(shù)：r=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sqrt{\sum_{i=1}^{8}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{8}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{2750}{\sqrt{4200}•\sqrt{1827.5}}$=$\frac{2750}{2770.469}$=0.99，
即變量y和x的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)非常接近1，
∴兩變量的線(xiàn)性相關(guān)性強(qiáng)，
設(shè)線(xiàn)性回歸方程為：$\widehat{y}$=$\widehat$x+a，
由$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=$\frac{2750}{4200}$=0.65，
由道路里程數(shù)x的平均數(shù)$\overline{x}$=$\frac{120+130+140+150+160+170+180+190}{8}$=155，汽車(chē)保有量y的平均數(shù)$\overline{y}$=$\frac{144+154+160+168+176+180+186+190}{8}$=169.75，
由線(xiàn)性回歸方程$a=\overline y-\hat b\overline x$過(guò)樣本中心點(diǎn)（$\overline{x}$，$\overline{y}$），a=$\overline{y}$-0.65$\overline{x}$=69.00，
∴線(xiàn)性回歸方程：$\widehat{y}$=0.65x+69．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型概率公式，考查利用最小二乘法求線(xiàn)性回歸方程，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．