Question

19．拋物線C頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)P（2，2）．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線l：x-y-1=0與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）直線l：x-y-1=0與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求|MN|．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y²=mx（m≠0），代入P （2，2）得m=2
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為$（\frac{1}{2}，0）$．                 …（6分）
（2）將y=x-1代入y²=2x得x²-4x+1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，y₁）
可得${x_1}+{x_2}=4，{x_1}•{x_2}=1∴|{MN}|=2\sqrt{6}$．                           …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，比較基礎(chǔ)．