Question

lim

n→∞

1+ 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n

1- 1 2 + 1 22 -…+(-1)n• 1 2n

=

 

．

Answer 1

分析：根據題意，分2種情況，當n為偶數時，原式=

lim

n→∞

1×(1-( 1 2 )n) 1- 1 2

(1+ 1 22 + 1 24 +…+ 1 2n ) -( 1 2 + 1 23 +…+ 1 2n-1 )

；當n為奇數時，
原式=

lim

n→∞

1- 1 2n 1- 1 2

(1+ 1 22 + 1 24 +…+ 1 2n-1 ) -( 1 2 + 1 23 +…+ 1 2n )

．由此可求出

lim

n→∞

1+ 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n

1- 1 2 + 1 22 -…+(-1)n• 1 2n

的值．

解答：當n為偶數時，

lim

n→∞

1+ 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n

1- 1 2 + 1 22 -…+(-1)n• 1 2n

=

lim

n→∞

1×(1-( 1 2 )n) 1- 1 2

(1+ 1 22 + 1 24 +…+ 1 2n ) -( 1 2 + 1 23 +…+ 1 2n-1 )

=

lim

n→∞

2- 2 2n

1- 1 2 n 2 1- 1 2 - 1 2 (1- 1 2 n 2 ) 1- 1 2

=

lim

n→∞

2- 2 2n

2- 2 2 n 2 -1+ 1 2 n 2

=2．
當n為奇數時，

lim

n→∞

1+ 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n

1- 1 2 + 1 22 -…+(-1)n• 1 2n

=

lim

n→∞

1- 1 2n 1- 1 2

(1+ 1 22 + 1 24 +…+ 1 2n-1 ) -( 1 2 + 1 23 +…+ 1 2n )

=

lim

n→∞

2- 2 2n

1- 1 2 n+1 2 1- 1 2 - 1 2 (1- 1 2 n-1 2 ) 1- 1 2

=

lim

n→∞

2- 2 2n

2- 2 2 n+1 2 -1+ 1 2 n-1 2

=2．
∴

lim

n→∞

1+ 1 2 + 1 22 +…+ 1 2n

1- 1 2 + 1 22 -…+(-1)n• 1 2n

=2．
答案：2

點評：本題考查數列的極限，解題時要注意培養(yǎng)計算能力．