Question

求滿(mǎn)足下列條件的直線(xiàn)方程：
（1）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且傾斜角是直線(xiàn)y=

4

3

x-2014的傾斜角的一半．
（2）傾斜角為π-arctan

1

2

，且原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為

5

．
（3）過(guò)A（-2，1），B（2，-3）的中點(diǎn)P，比直線(xiàn)AB的傾斜角小45°．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)傾斜角關(guān)系求出直線(xiàn)的斜率即可．
（2）根據(jù)傾斜角求出斜率，利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解．
（3）求出中點(diǎn)P，以及直線(xiàn)的傾斜角，即可求直線(xiàn)的方程．

解答：解：（1）設(shè)直線(xiàn)y=

4

3

x-2014的傾斜角為θ，則tanθ=

4

3

，則所求直線(xiàn)的斜率k=tan

θ

2

＞0，
∵tanθ=

4

3

=

2tan? θ 2

1-tan?2 θ 2

，
∴4tan2

θ

2

+6tan

θ

2

-4=0，
即2tan?2

θ

2

+3tan?

θ

2

-2=0，
解得tan

θ

2

=

1

2

或tan

θ

2

=-2（舍去），
直線(xiàn)斜率k=tan

θ

2

=

1

2

，
∵直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴直線(xiàn)方程為y=

1

2

x．
（2）∵直線(xiàn)的傾斜角為π-arctan

1

2

，
∴斜率k=tan（π-arctan

1

2

）=-

1

2

，
設(shè)直線(xiàn)方程為y=-

1

2

x+b，即x+2y-b=0，
∵原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離為

5

．
∴d=

|b|

12+22

=

|b|

5

=

5

，
即|b|=5，解得b=±5，
∴直線(xiàn)方程x+2y+5=0或x+2y-5=0．
（3）A（-2，1），B（2，-3）的中點(diǎn)P（0，-1），
AB的斜率k=tanθ=

-3-1

2-(-2)

=

-4

4

=-1，
∴直線(xiàn)AB的傾斜角為135°，
則所求直線(xiàn)的傾斜角為135°-45°=90°，
∴直線(xiàn)方程為x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)方程的求法，根據(jù)直線(xiàn)方程的本題的條件是解決本題的關(guān)鍵．