Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，過點(diǎn)P（2，-1）的直線l的傾斜角為45°．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極坐標(biāo)建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ，直線l和曲線C的交點(diǎn)為A，B．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；  
 （2）求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y求曲線C的直角坐標(biāo)方程；  
 （2）利用參數(shù)的幾何意義求|PA|•|PB|．

解答 （1）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，…（2分）
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x …（5分）
（2）∵直線l過點(diǎn)P（2，-1），且傾斜角為45°．∴l(xiāng)的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．…（7分）
代入  y²=4x  得t²-6$\sqrt{2}$t-14=0…（8分）
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別t₁，t₂
∴t₁t₂=-14…（9分）
∴|PA|•|PB|=14．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，正確運(yùn)用參數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵．