Question

橢圓E：的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，焦距為2，過F₁作垂直于橢圓長軸的弦|PQ|，其長度為3．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點．判斷是否存在直線l使得∠AF₂B為鈍角，若存在，求出l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，解得a²=4，b²=3，
∴橢圓的方程為：．
（Ⅱ）（i）當過F₁直線AB的斜率不存在時，點，
則，顯然∠AF₂B不為鈍角．
（ii）當過F₁直線AB的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0．△＞0恒成立．
，
∴
=，
當∠AF₂B為鈍角時，＜0，所以，
綜上所述，滿足條件的直線斜率k滿足．
分析：（Ⅰ）由焦距為2可求得c值，由弦長|PQ|為3可得=，再由a²=b²+c²即可求得a，b；
（Ⅱ）分情況進行討論：（i）當過F₁直線AB的斜率不存在時易作出判斷；（ii）當過F₁直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當∠AF₂B為鈍角時，＜0，利用韋達定理可把該不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式，若有解則存在，否則不存在；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學生的探究能力、分析解決問題的能力，對于存在性問題往往先假設(shè)存在，以此為基礎(chǔ)進行推導．