Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d∈（0，1），且$\frac{{{{sin}^2}{a_3}-{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_3}+{a_7}）}}$=-1，若a₁∈（-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{9π}{8}$）時(shí)，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n取得最小值時(shí)n的值為10．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的降冪公式化簡$\frac{{{{sin}^2}{a_3}-{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_3}+{a_7}）}}$=-1，得出$\frac{cos{2a}_{7}-cos{2a}_{3}}{2}$=-sin（a₃+a₇），再利用和差化積公式得出sin（a₇-a₃）=1，求出公差d的值，寫出通項(xiàng)公式a_n，令a_n≤0，即可求得n的值．

解答 解：∵{a_n}為等差數(shù)列，且$\frac{{{{sin}^2}{a_3}-{{sin}^2}{a_7}}}{{sin（{a_3}+{a_7}）}}$=-1，
∴$\frac{\frac{1-cos{2a}_{3}}{2}-\frac{1-cos{2a}_{7}}{2}}{sin{（a}_{3}{+a}_{7}）}$=-1，
∴$\frac{cos{2a}_{7}-cos{2a}_{3}}{2}$=-sin（a₃+a₇），
由和差化積公式得：$\frac{1}{2}$×（-2）sin（a₇+a₃）•sin（a₇-a₃）=-sin（a₃+a₇），
又sin（a₃+a₇）≠0，
∴sin（a₇-a₃）=1，
∴4d=2kπ+$\frac{π}{2}$∈（0，4）；
取k=0，得4d=$\frac{π}{2}$，解得d=$\frac{π}{8}$；
又∵a₁∈（-$\frac{5π}{4}$，-$\frac{9π}{8}$），∴a_n=a₁+$\frac{π}{8}$（n-1），
∴a_n∈（-$\frac{11π}{8}$+$\frac{nπ}{8}$，-$\frac{10π}{8}$+$\frac{nπ}{8}$）；
令a_n≤0，得-$\frac{10π}{8}$+$\frac{nπ}{8}$≤0，
解得n≤10；
∴n=10時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n取得最小值．
故答案為：10．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，利用三角函數(shù)的降冪公式與和差化積公式求得sin（a₇-a₃）=1是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，是綜合性題目．