Question

某工廠生產(chǎn)主要產(chǎn)品后，留下大量中心角為60°，半徑為a的扇形邊角料，現(xiàn)要廢物利用，從中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面積盡可能大，并如圖設(shè)計(jì)了兩種裁剪方法，一種是使矩形的一邊落在扇形的半徑上，另一種是使矩形的兩頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑上，請(qǐng)選出最佳方案．

Answer 1

考點(diǎn)：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題

專(zhuān)題：應(yīng)用題,三角函數(shù)的求值

分析：分別求出面積，作差比較，即可得出結(jié)論．

解答： 解：方案一，如圖，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)在半徑OA上，
 設(shè)∠AOP=θ，則PM=a•sinθ．
∵扇形中心角為60°，∴∠PQO=120°．
由正弦定理，得

OP

sin120°

=

PQ

sin(60°-θ)

，
∴PQ=

2

3

•a•sin（60°-θ）．
故矩形MPQR的面積為S₁=PM•PQ=

2

3

a²•sinθ•sin（60°-θ）
=

1

3

•a²[cos（2θ-60°）-cos60°]≤

1

3

•a²•（1-

1

2

）=

3

6

a²．
當(dāng)cos（2θ-60°）=1．即θ=30°時(shí)，S₁取得最大值

3

6

a²．
方案二：如圖，矩形有兩個(gè)頂點(diǎn)分別在扇形的兩條半徑OA、OB上．
設(shè)∠AOM=θ，∠MRA=

1

2

×60°=30°，∠MRO=150°，

由正弦定理，得

RM

sinθ

=

a

sin150°

．
∴RM=2a•sinθ．
又

OR

sin(30°-θ)

=

a

sin150°

．
∴OR=RQ=2a•sin（30°-θ）．
∴矩形MPQR的面積為
S₂=MR•RQ=4a²•sinθ•sin（30°-θ）
=2a²[cos（2θ-30°）-cos30°≤2a²•（1-

3

2

）=（2-

3

）a²，
即在此情況下，∠AOM=15°時(shí)，可求出M點(diǎn)，然后作出MPQR面積為最大．
由于S₁-S₂=

3

6

a²-（2-

3

）a²=

a2

6

（7

3

-12）＞0，
所以第一種方案能使截出的矩形面積最大，即∠AOP=θ=30°，使P取在AB弧中點(diǎn)，分別向扇形的一條半徑作垂線(xiàn)及平行線(xiàn)得到矩形MPQR，即為最大矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題．