Question

已知：△ABC是正三角形，EA、CD垂直平面ABC，且EA=AB=2，DC=1，F是BE中點．求證：（1）FD∥平面ABC；
（2）AF⊥平面BDE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）過F作FO∥EA，只要證明FD∥CO即可；
（2）因為AE⊥平面ABC，AE?平面AEB，得到平面AEB⊥平面ABC，再由面面垂直的性質得到OC⊥平面ABE，進一步得到AF⊥OC，由線面垂直的判定定理可證．

解答： 證明：（1）過F作FO∥EA，因為F是EB的中點，所以O是AB的中點，所以FO∥CD，FO=CD，
所以四邊形FOCD是平行四邊形，所以FD∥CO，又FD?平面ABC，CO?平面ABC，
所以FD∥平面ABC；
（2）∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEB，
∴平面AEB⊥平面ABC，
又平面AEB∩平面ABC=AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABE，AF?平面ABE，
∴AF⊥OC，DF∥OC
∴AF⊥DF又AF⊥BE，
∴AF⊥平面BDE．

點評：本題考查了線面平行的判定和線面垂直的判定，關鍵是熟練相關的判定定理和性質定理，將線面關系轉化為線線關系解答．