Question

18．下列說(shuō)法
①當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②△ABC中，a＞b是sinA＞sinB 成立的充要條件；
③函數(shù)y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的圖象可以由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到；
④已知s_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃．；
⑤函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．
其中正確的命題的序號(hào)為②④．

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，故①不正確；根據(jù)正弦定理即可判斷命題成立，故②正確；先用輔助角公式，可得y=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)三角函數(shù)圖象變換，即可判斷③不正確；
由條件，S₇-S₅=a₆+a₇＞0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=3（a₆+a₇）＞0，故④正確；由于y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，再將兩圖象分別平移可得y=f（1+x）和y=f（1-x）的圖象，即可知函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象仍然關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，故⑤不正確．

解答 解：對(duì)于①：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，則lnx+$\frac{1}{lnx}$＜0，故①不正確；
對(duì)于②：根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2R$（R為外接圓半徑），得a=2RsinA，b=2RsinB．若a＞b，則2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB；若sinA＞sinB，則$\frac{a}{2R}＞\frac{2R}$，即a＞b．所以命題成立，故②正確；
對(duì)于③：y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x$）=2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），而y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{6}$），故③不正確；
對(duì)于④：∵S₇＞S₅，∴S₇-S₅=a₆+a₇＞0．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a₄+a₉=a₅+a₈=a₆+a₇．所以S₉-S₃=a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉=3（a₆+a₇）＞0，即S₉＞S₃，故④正確．
對(duì)于⑤：因?yàn)閷�y=f（x）的圖象向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=f（x+1）的圖象，將y=f（-x）的圖象向右平移一個(gè)單位，可得y=f[-（x-1）]=f（1-x）的圖象，而y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象仍然關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，故⑤不正確．
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng) 本通過(guò)判斷命題的真假考查了基本不等式、正弦定理、三角函數(shù)圖象的變換、等差數(shù)列以及函數(shù)圖象的平移及對(duì)稱(chēng)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．