Question

1．如圖，以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上一點(diǎn)M為圓心的圓恰好與y軸相切，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A是雙曲線的右頂點(diǎn)，若△MAB是等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用M為圓心的圓恰好與y軸相切，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A是雙曲線的右頂點(diǎn)，若△MAB是等邊三角形，得出M（2a，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵M(jìn)為圓心的圓恰好與y軸相切，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中A是雙曲線的右頂點(diǎn)，若△MAB是等邊三角形，
∴M（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，可得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
∴a=b，
∴c=$\sqrt{2}a$，
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵，屬于中檔題．