Question

【題目】已知函數．

（1）求證:函數在上為增函數;

（2）當時,若恒成立,求實數的取值范圍;

（3）設,試討論函數的零點情況.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）（3）答案見解析

【解析】

（1）根據函數單調性的定義證明,即可求得答案;

（2）設,當時,恒成立,得到關于的不等式組,即可求得答案;

（3）求出的值域,問題轉化為求方程的實數根,令,得到方程,求出的值,通過討論的范圍,即可求得答案．

（1）設 是上的任意兩個數,且,則

則

,

即

在上遞增；

（2）,即

設

即當時,恒成立,

,

解得:

實數的范圍是

（3）

x＞0,則

,

即,

當時,由（1）得遞增,遞增,

遞增,

g(x)的值域是,

的大致圖象如圖示:

,

函數的零點

方程的實數根,

令,即

解得:或,

時,滿足條件的實數根有且只有一個,

,

當,即時,函數有個零點,

當,即時,函數只有個零點,

當 ,即時,函數F(x)有個零點,

綜上所述,時,函數只有個零點,

時,函數有個零點,

時,函數有個零點．