Question

已知函數(shù)f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x（x∈R），其中A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，且滿足cos（A+

π

4

）=-

2

10

，A∈（

π

4

，

π

2

）
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）_max=f（B），且AC=5，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由A∈（

π

4

，

π

2

）化簡cos（A+

π

4

）=-

2

10

可解得sinA=

4

5

，化簡解析式得f（x）=

3

2

-2（sinx-

1

2

）²，即可由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求f（x）的值域；
（2）由f（x）_max=f（B），又由（1）可得sinB=

1

2

，又sinA=

4

5

，AC=5，由正弦定理可得BC=8，由同角三角函數(shù)關(guān)系式可得cosA=

3

5

，cosB=±

3

2

，根據(jù)兩角和正弦公式可得sinC的值．由三角形面積公式S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC即可得解．

解答： 解：（1）∵A∈（

π

4

，

π

2

），
∵cos（A+

π

4

）=-

2

10

⇒

2

2

（cosA-sinA）=-

2

10

⇒cosA-sinA=-

1

5

⇒

1-sin2A

=sinA-

1

5

⇒sin²A-

1

5

sinA-

12

25

=0⇒sinA=

4

5

或-

3

5

（舍去），
∴f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x=2sinx+cos2x=-2sin²x+2sinx+1=

3

2

-2（sinx-

1

2

）²，
∴當sinx=

1

2

時，f（x）_max=

3

2

．當sinx=-1是，f（x）_min=-3，
（2）∵f（x）_max=f（B），
∴由（1）可得：sinB=

1

2

，又sinA=

4

5

，AC=5，
∴由正弦定理可得：

AC

sinB

=

BC

sinA

，即：

5

1 2

=

BC

4 5

，可得：BC=8，
∵A∈（

π

4

，

π

2

），可得cosA=

3

5

，cosB=±

3

2

，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×(±

3

2

)+

3

5

×

1

2

=

4 3 +3

10

或

3-4 3

10

（舍去），
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC•sinC=

1

2

×5×8×

4 3 +3

10

=8

3

+6．

點評：本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式，兩角和正弦公式，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練應(yīng)用相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查．