Question

8．若函數(shù)f（x）=$\frac{4x}{{{x^2}+1}}$在區(qū)間[m，m+1]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 可求導(dǎo)數(shù)得到$f′（x）=\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，這樣便可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，而由條件函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，m+1]上單調(diào)遞增便可得出關(guān)于m的不等式組，從而求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：$f′（x）=\frac{4（{x}^{2}+1）-8{x}^{2}}{（{x}^{2}+1）^{2}}=\frac{4（1-{x}^{2}）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$；
∴-1≤x≤1時，f′（x）≥0；
即區(qū)間[-1，1]是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
又f（x）在[m，m+1]上是單調(diào)遞增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{m+1≤1}\end{array}\right.$；
∴-1≤m≤0；
即實數(shù)m的取值范圍是[-1，0]．
故答案為：[-1，0]．

點評 考查商的導(dǎo)數(shù)的計算公式，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，一元二次不等式的解法，以及區(qū)間的概念及數(shù)軸表示區(qū)間的方法．