Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），且在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為2x-y-5=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線(xiàn)方程，通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出系數(shù)的值，求出函數(shù)的表達(dá)式即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）把P（0，1）代入f（x）解得：d=1，
∴f（x）=x³+bx²+cx+1，f′（x）=3x²+2bx+c，
f（1）=b+c+2，f′（1）=2b+c+3，
∴切線(xiàn)方程是：y-（b+c+2）=（2b+c+3）（x-1），
即（2b+c+3）x-y-（b+1）=0，
而切線(xiàn)方程為2x-y-5=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2b+c+3=2}\\{b+1=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-9}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³+4x²-9x+1；
（2）f′（x）=3x²+8x-9，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$或x＜$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$＜x＜$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$，
故f（x）在（-∞，$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$）遞增，在（$\frac{-4-\sqrt{43}}{3}$，$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$）遞減，在（$\frac{-4+\sqrt{43}}{3}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性，是一道基礎(chǔ)題．