Question

設k∈R，函數f（x）=（x²+2x+k）e^x的圖象在x=0處的切線過點（1，4）．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，代入x=0，得到f′（0）=k+2，f（0）=k，即可得到切線方程，又由切線過點（1，4），則有4-k=（k+2），即得k；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函數的導數，令導數小于0，得x的取值區(qū)間，即為f（x）的單調減區(qū)間；令導數大于0，得x的取值區(qū)間，即為f（x）的單調增區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）由于函數f（x）=（x²+2x+k）e^x的導數為：f′（x）=e^x（x²+2x+k）+e^x（2x+2）=e^x（x²+4x+k+2），
則f′（0）=e⁰（0²+0+k+2）=k+2，f（0）=（0²+0+k）e⁰=k
則函數在x=0處的切線方程為 y-k=（k+2）x
又由在x=0處的切線過點（1，4），則4-k=（k+2），所以k=1
則函數f（x）的解析式f（x）=（x²+2x+1）e^x
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=e^x（x²+4x+3），
令f′（x）＜0得-3＜x＜-1；
令f′（x）＞0得x＜-3或x＞-1．
則函數f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，-3），（-1，+∞）；函數f（x）的單調減區(qū)間為（-3，-1）．

點評：考查利用導數求函數的單調區(qū)間，令f′（x）＜0，得x的取值區(qū)間，即為f（x）的單調減區(qū)間；令f′（x）＞0，得x的取值區(qū)間，即為f（x）的單調增區(qū)間．是中檔題．