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【題目】已知函數．

(I)求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)求證：存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為；

(Ⅲ)比較與的大小，并加以證明.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) ，證明見解析.

【解析】試題分析：(I)由切線斜率為及，由點斜式求切線即可；

(Ⅱ)由題意只需證明方程 在區(qū)間有唯一解，設函數 由單調性證明即可；

(Ⅲ) 首先證明當時， ，由即可證得.

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域是，

導函數為．

所以， 又，

所以曲線在點處的切線方程為．

（Ⅱ）由已知．

所以只需證明方程 在區(qū)間有唯一解．

即方程 在區(qū)間有唯一解．

設函數 ，

則 ．

當 時， ，故在區(qū)間單調遞增．

又 ， ，

所以 存在唯一的，使得．

綜上，存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為．

（Ⅲ）．證明如下：

首先證明：當時， ．

設 ，

則 ．

當 時， ， ，

所以 ，故在單調遞增，

所以 時，有，

即當 時，有．

所以 ．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f(x)的導函數f′(x)，且對任意x＞0，都有f′(x)＞.

(1)判斷函數F(x)＝在(0，＋∞)上的單調性；

(2)設x1，x2∈(0，＋∞)，證明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；

(3)請將(2)中結論推廣到一般形式，并證明你所推廣的結論．

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(1)在AB邊上是否存在點P，使AD∥平面MPC?

(2)當點P為AB邊的中點時，求點B到平面MPC的距離．

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（II）求證：PB//平面ACM；

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（1）求點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，過點且斜率不為0的直線與交于兩點，點關于軸的對稱點為，證明直線過定點，并求面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

設函數f(x)＝e2x－aln x.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)零點的個數；

(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a＋aln.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數．

（1）解不等式；

（2）若關于的方程的解集為空集，求實數的取值范圍．

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