Question

13．某學校為倡導全體學生為特困學生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠信用水”活動，學生在購水處每領取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現(xiàn)統(tǒng)計了連續(xù)5天的售出和收益情況，如表：

售出水量x（單位：箱）	7	6	6	5	6
收益y（單位：元）	165	142	148	125	150

（Ⅰ）求y關于x的線性回歸方程；
（Ⅱ）預測售出8箱水的收益是多少元？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$，
參考數(shù)據(jù)：7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先求出x，y的平均數(shù)，得到樣本中心點，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)，即可寫出線性回歸方程．
（Ⅱ）當自變量取8時，把8代入線性回歸方程，求出銷售額的預報值，這是一個估計數(shù)字．

解答 解：（Ⅰ） 由所給數(shù)據(jù)計算得$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（7+6+6+5+6）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（165+142+148+125+150）=146，
$\sum_{i=1}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=7²+6²+6²+5²+6²=182，
$\widehat$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}y}_{i}-5\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{5}x}_{i}}^{2}-{5\overline{x}}^{2}}$=$\frac{4420-5×6×146}{182-5×6×6}$=20，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=146-20×6=26，
所求回歸直線方程為$\widehat{y}$=20x+26；
（Ⅱ）將x=8代入回歸方程可預測售出8箱水的收益為
$\widehat{y}$=20×8+26=186（元）．

點評 本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預報y的值，本題解題的關鍵是利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，這是解答正確的主要環(huán)節(jié)，本題是一個中檔題目．