Question

18．已知函數(shù)$f（x）={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1$．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期和最值；
（2）若0＜x＜π，求這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，然后求解函數(shù)的周期以及函數(shù)的最值．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，轉化求解即可．

解答 解：（1）$y={cos^2}x+\sqrt{3}sinxcosx+1=\frac{cos2x+1}{2}+\frac{{\sqrt{3}sin2x}}{2}+1=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}+1$=$sin\frac{π}{6}cos2x+cos\frac{π}{6}sin2x+\frac{3}{2}=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$．
函數(shù)的最小正周期：π；最大值為：$\frac{5}{2}$，最小值為：$\frac{1}{2}$．
（2）因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]（{k∈Z}）$，
由（1）知$y=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}$，故$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，
∴$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（{k∈Z}）$，
故函數(shù)$y=sin（{2x+\frac{π}{6}}）+\frac{3}{2}，0＜x＜π$的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}）$；
單調(diào)遞減區(qū)間為$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值的求法正確的求法，考查計算能力．