【題目】已知雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，半焦距，點(diǎn)到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線(xiàn)的兩條互相垂直的弦，，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，.

（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線(xiàn)必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)

【解析】

（1）由題意可得的值，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，可得的值，再由，，之間的關(guān)系求出雙曲線(xiàn)的方程；

（2）設(shè)弦所在的直線(xiàn)方程，與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立可得兩根之和進(jìn)而可得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由橢圓可得弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，分別討論當(dāng)的斜率存在和不存在兩種情況可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

（1）由題設(shè)可得，，所以，.

所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的弦所在的直線(xiàn)方程為，，，

則有.

聯(lián)立，可得.

因?yàn)橄?/span>與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，

所以，所以.

（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即是點(diǎn)，此時(shí)，直線(xiàn)為軸.

（2）當(dāng)時(shí)，將上式點(diǎn)坐標(biāo)中的換成，同理可得.

①當(dāng)直線(xiàn)不垂直于軸時(shí)，

直線(xiàn)的斜率，

其方程，化簡(jiǎn)得，

所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；

②當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，，此時(shí)，，直線(xiàn)也過(guò)定點(diǎn).

綜上所述，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，已知，，側(cè)面.

（Ⅰ）求直線(xiàn)與底面所成角正切值；

（Ⅱ）在棱（不包含端點(diǎn)）上確定一點(diǎn)E的位置，

使得（要求說(shuō)明理由）；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖是某地區(qū)2012年至2018年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：萬(wàn)噸）的折線(xiàn)圖.

注：年份代碼分別表示對(duì)應(yīng)年份.

（1）由折線(xiàn)圖看出，可用線(xiàn)性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)（線(xiàn)性相關(guān)較強(qiáng)）加以說(shuō)明；

（2）建立與的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2019年該區(qū)生活垃圾無(wú)害化處理量.

（參考數(shù)據(jù)），，，，，，.

（參考公式）相關(guān)系數(shù)，在回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線(xiàn)論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當(dāng)的面積最大時(shí)，AC邊上的高為_______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】用“算籌”表示數(shù)是我國(guó)古代計(jì)數(shù)方法之一，計(jì)數(shù)形式有縱式和橫式兩種，如圖1所示.金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家李冶在《測(cè)圓海鏡》中記載：用“天元術(shù)”列方程，就是用算籌來(lái)表示方程中各項(xiàng)的系數(shù).所謂“天元術(shù)”，即是一種用數(shù)學(xué)符號(hào)列方程的方法，“立天元一為某某”，意即“設(shè)為某某”.如圖2所示的天元式表示方程，其中，，…，，表示方程各項(xiàng)的系數(shù)，均為籌算數(shù)碼，在常數(shù)項(xiàng)旁邊記一“太”字或在一次項(xiàng)旁邊記一“元”字，“太”或“元”向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪.

試根據(jù)上述數(shù)學(xué)史料，判斷圖3天元式表示的方程是（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱柱中，平面，四邊形為平行四邊形，，．

（1）若，求證：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn).

（1）若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，π），求|PM||PN|的值；

（2）求曲線(xiàn)C的內(nèi)接矩形周長(zhǎng)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線(xiàn)交于P，Q，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，連接QB，BP并延長(zhǎng)分別與x軸交于點(diǎn)M，N.

（1）若，求拋物線(xiàn)C的方程；

（2）若，求外接圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形

∠ADC＝45°，，為的中點(diǎn)，⊥平面，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：⊥平面；

(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正切值．

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