Question

已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），則（　　）

• A、f（x₁ ）＜0，f（x₂）＜-

  1

  2

• B、f（x₁ ）＜0，f（x₂）＞-

  1

  2

• C、f（x₁ ）＞0，f（x₂）＜-

  1

  2

• D、f（x₁ ）＞0，f（x₂）＞-

  1

  2

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：當a=0時，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，解得x=

1

e

，f（

1

e

）=-

1

e

；當a≠0時，f（x）=xlnx-ax²，f′（x）=lnx-2ax+1=0，a=

lnx+1

2x

，設a（x）=

1nx+1

2x

，令a′（x）=-

2lnx

4x2

，x=1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）時，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-

1

2

．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂，（x₁＜x₂）
當a=0時，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，
解得x=

1

e

，∴f（

1

e

）=-

1

e

；
當a≠0時，f（x）=xlnx-ax²，f′（x）=lnx-2ax+1=0，
a=

lnx+1

2x

，
設a（x）=

1nx+1

2x

，
令a′（x）=-

2lnx

4x2

，x=1，
當0＜x＜1時，a′（x）＞0，當x＞1時，a′（x）＜0，
∴a（x）在x=1處取極大值

1

2

，
又∵x→+∞時，a（x）→0
∴當0＜a＜

1

2

時，f′（x）=lnx-2ax+1=0必存在二個解
即函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值x₁，x₂，（x₁＜x₂），
當0＜x＜x₁或x＞x₂時，f′（x）＜0，當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在x₁處取極小值，在x₂處取極大值，
又∵當a=

1

2

時，f′（x）=lnx-x+1=0，∴x=1，f（1）=-

1

2

，
當a=0時，f（x）在x=

1

e

處取極小值f（

1

e

）=-

1

e

．
∴函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂）時，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-

1

2

．
故選：B．

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．