Question

已知函數f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）當m=-3時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若m=-1，△ABC的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，a、b、c分別為△ABC的內角A、B、C所對的邊．求證：a²+c²＜b²．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）確定函數f（x）的定義域為（0，+∞），求導函數，確定函數的單調性，從而可求函數的極小值；
（Ⅱ）m=-1時，f（x）為定義域上的增函數，利用

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），求得

BA

•

BC

＜0，從而可得∠ABC為鈍角，利用余弦定理可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2x+m，
m=-3時，f′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

=0，得x=

1

2

或x=1．
f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		減		增

f(x)極大值=f(

1

2

)=-ln2-

5

4

，f（x）_極小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）m=-1時，f（x）為定義域上的增函數，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）在函數f（x）的圖象上，且x₁＜x₂＜x₃，
∴y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

=（x₁-x₂，y₁-y₂），

BC

=（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴x₁＜x₂＜x₃，y₁＜y₂＜y₃，
∴

BA

•

BC

＜0
∴cos＜

BA

，

BC

＞＜0
∴∠ABC為鈍角
∴

a2+c2-b2

2ac

＜0
∴a²+c²＜b²．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查不等式的證明，正確運用向量是關鍵．