已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)A（2，0）和B（1，
3
2
）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I ）求橢圓C的方程；
（II）若以點(diǎn)O為端點(diǎn)的兩條射線與橢圓c分別相交于點(diǎn)M，N且
MN
丄
ON
，證明：點(diǎn)O到直線MN的距離為定值．
（I）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)A（2，0）和B（1，
3
2
）兩點(diǎn)，
∴
a=2
1
a2
+
9
4b2
=1
，
∴a=2，b=
3

∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（II）證明：①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，其方程為x=±
2
21
7
，則點(diǎn)O到直線MN的距離為
2
21
7
；
②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，其方程為y=kx+m，設(shè)M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），
將y=kx+m代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，則x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2

令△＞0，解得m2＜4k2+3，
∵
MN
丄
ON
，∴x1x2+y1y2=0，
∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，
∴（1+k2）•
4m2-12
3+4k2
-km•
8km
3+4k2
+m2=0，
∴m2=
12(k2+1)
7
＜4k2+3
∴點(diǎn)O到直線MN的距離為d=
|m|
1+k2
=
2
21
7
，
由①②可得點(diǎn)O到直線MN的距離為定值
2
21
7
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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