Question

設x、y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0．

Answer 1

答案：
解析：

證明：充分性：若xy＝0，那么，①x＝0，y≠0；②x≠0，y＝0；③x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|． 　　如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，當x＞0，y＞0時，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|；當x＜0，y＜0時，|x＋y|＝－(x＋y)＝－x＋(－y)＝|x|＋|y|． 　　總之，當xy≥0時，有|x＋y|＝|x|＋|y|． 　　必要性：由|x＋y|＝|x|＋|y|及x、y∈R，得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，所以|xy|＝xy．所以xy≥0． 　　解析：要證充要條件，需要證明充分性，也要證明必要性．對x、y的取值進行討論，再綜合總結(jié)．

提示：

充要條件的證明關鍵是根據(jù)定義確定哪是已知條件，哪是結(jié)論，然后搞清充分性是證明哪一個命題，必要性是證明哪一個命題．