Question

如圖，已知棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，且AA₁⊥平面ABCD，E為棱AA₁的中點，F(xiàn)為線段BD₁的中點．
（1）證明：EF∥平面ABCD；
（2）證明：EF⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）根據(jù)中的找出平行線，利用判斷定理證明．（2）利用線線，線面，垂直的性質，判斷定理轉換求解．

解答： （1）證明：連接AC交BD與O，連接OF，
∵ABCD是 正方形
∴O是BD的中點，BD⊥OA，
又∵F為線段BD₁的中點
∴OF∥DD₁且OF=

1

2

DD1
∵E為棱AA₁的中點，
∴OF∥AE且OF=AE
∴EF∥OA，
∵OA?平面ABCD，且EF?平面ABCD
∴EF∥平面ABCD
（2）證明：∵AA₁⊥平面ABCD且AA₁∥DD₁，
∴DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥OA
∵BD⊥OA且BD?平面BB₁D₁D，D₁D?平面BB₁D₁D，BD∩₁D₁D=D
∴OA⊥平面BB₁D₁D
∵EF∥OA
∴EF⊥平面BB₁D₁D．

點評：本題考查了直線與平面平行垂直的判斷定理，的運用，屬于中檔題．