Question

已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅．若存在兩項(xiàng)a_m，a_n使得

am•an

=2

2

•a₁，則

2

m

+

8

n

的最小值為

11

3

．

Answer 1

分析：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合a₇=a₆+2a₅求出等比數(shù)列的公比，代入

am•an

=2

2

•a₁后平方整理得到m+n=5，結(jié)合待求式子得到

2

m

+

8

n

=2+

2

5

•

n

m

+

8

5

•

m

n

，利用m，n∈N^*，且m+n=5求出

n

m

的所有取值情況，代入后求值，最后取最小的數(shù)．

解答：解：{a_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
∵a₇=a₆+2a₅，
∴a1q6=a1q5+2a1q4，
∴q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1．
∵a_n＞0，∴q=2．
由

am•an

=2

2

•a₁，得：a12[qm-1•qn-1]=8a12，
∴q^m+n-2=8，即2^m+n-2=2³，m+n=5．
∴

m

5

+

n

5

=1．
則

2

m

+

8

n

=(

2

m

+

8

n

)(

m

5

+

n

5

)=

2

5

+

8

5

+

2n

5m

+

8m

5n

=2+

2

5

•

n

m

+

8

5

•

m

n

．
∵m，n∈N^*，且m+n=5，
∴m，n的取值情況有：
m=1，n=4，此時(shí)

n

m

=4，

2

m

+

8

n

=4；
m=2，n=3，此時(shí)

n

m

=

3

2

，

2

m

+

8

n

=

11

3

；
m=3，n=2，此時(shí)

n

m

=

2

3

，

2

m

+

8

n

=

14

3

；
m=4，n=1，此時(shí)

n

m

=

1

4

，

2

m

+

8

n

=

17

2

．
比較上述四個(gè)數(shù)值可得，

2

m

+

8

n

的最小值為

11

3

．
故答案為：

11

3

．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了函數(shù)值的求法，訓(xùn)練了不等式的大小比較，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．