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【題目】已知函數.

（1）若函數在其定義域內單調遞增，求實數的最大值；

（2）若存在正實數對，使得當時，能成立，求實數的取值范圍.

【答案】（1）4（2）

【解析】

（1）先求導，再根據導數和函數的單調性的關系即可求出的范圍，

（2）根據題意可得，因此原問題轉化為存在正實數使得等式成立，構造函數，利用導數求出函數的值域，即可求出的取值范圍．

解析：（1）由題意得，

函數在其定義域內單調遞增，則在內恒成立，

故.

因為（等號成立當且僅當即）

所以（經檢驗滿足題目），所以實數的最大值為4.

（2）由題意得，則

，因此原問題轉化為：

存在正數使得等式成立.

整理并分離得，記，

要使得上面的方程有解，下面求的值域，

，故在上是單調遞減，

在上單調遞增，

所以，

又，故當，，

綜上所述，，

即實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
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【題目】已知拋物線的內接等邊三角形的面積為（其中為坐標原點）．

（1）試求拋物線的方程；

（2）已知點兩點在拋物線上，是以點為直角頂點的直角三角形．

①求證：直線恒過定點；

②過點作直線的垂線交于點，試求點的軌跡方程，并說明其軌跡是何種曲線．

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（1）當， 時，若點都在坐標軸的正半軸上，求橢圓的方程；

（2）若以為直徑的圓經過坐標原點，探究是否滿足，并說明理由.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為

（1）在曲線上任取一點,連接,在射線上取一點，使,求點軌跡的極坐標方程；

（2）在曲線上任取一點,在曲線上任取一點,求的最小值.

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【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，.

（1）證明：平面平面；

（2），分別是，的中點，是線段上的動點，若二面角的平面角的大小為，試確定點的位置.

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【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與拋物線交于，兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點．

（1）若點的坐標為，求的值；

（2）設線段的中點為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于，兩點，求的取值范圍．

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【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與拋物線交于，兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點．

（1）若點的坐標為，求的值；

（2）設線段的中點為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于，兩點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是（是參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，其傾斜角為．

（Ⅰ）證明直線恒過定點，并寫出直線的參數方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若直線與曲線交于，兩點，求的值．

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【題目】已知函數

（1）若函數在處取得極值1，證明：

（2）若恒成立，求實數的取值范圍.

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