Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，記f₁（x）=f（f（x）），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*，那么下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱(chēng)，f₂₀₁₆（0）=0
• B． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，-1）對(duì)稱(chēng)，f₂₀₁₆（0）=0
• C． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱(chēng)，f₂₀₁₆（0）=1
• D． f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，-1）對(duì)稱(chēng)，f₂₀₁₆（0）=1

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x），求出f₁（x）、f₂（x），…，f_n+1（x）的解析式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，
∴f₁（x）=f（f（x））=x，
f₂（x）=f（f₁（x））=$\frac{1-x}{1+x}$，
…，
f_n+1（x）=f（f_n（x）），n∈N^*；
又f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{1+x}$，
由函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是（0，0），
f（x）的圖象是y=$\frac{1}{x}$的圖象向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到的，
所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，-1）對(duì)稱(chēng)，且f₂₀₁₆（0）=$\frac{1-0}{1+0}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．