Question

設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）借助導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而證明；（2）先將原不等式化為兩個(gè)不等式與，先證明不等式，方法1先證明不等式，然后利用放縮法證明，從而證明不等式成立，方法2是在不等式的基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)歸納法直接證明不等式成立；再證明不等式

先考察函數(shù)的單調(diào)性證明，然后就時(shí)，將對(duì)進(jìn)行放縮，，進(jìn)而證明。

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020250213457235_DA.files/image012.png">，，且在上的圖像是一條連續(xù)曲線，

所以函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)．                           1分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020250213457235_DA.files/image016.png">，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．                           2分

所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)．

而是函數(shù)的零點(diǎn)，

所以．                                   3分

（2）先證明左邊的不等式：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020250213457235_DA.files/image017.png">，

由（1）知，

所以．                                   4分

即．

所以．                                  5分

所以．                   6分

以下證明．              ①

方法1（放縮法）：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092000190384191803/SYS201309200020250213457235_DA.files/image022.png">，                7分

所以

．                        9分

方法2（數(shù)學(xué)歸納法）：1）當(dāng)時(shí)，，不等式①成立．

2）假設(shè)當(dāng)（）時(shí)不等式①成立，即

．

那么

．

以下證明．                 ②

即證．

即證．

由于上式顯然成立，所以不等式②成立．

即當(dāng)時(shí)不等式①也成立．

根據(jù)1）和2），可知不等式①對(duì)任何都成立．

所以．                            9分

再證明右邊的不等式：

當(dāng)時(shí)，．

由于，，

所以．                                  10分

由（1）知，且，所以．            11分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，                      12分

所以當(dāng)時(shí)，

                                     ．

所以當(dāng)時(shí)，都有．

綜上所述，．                       14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)存在定理、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法