Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
6.設(shè)函數(shù)f(x)=mn,其中向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;并求x∈[-π2,π2]的值域和單調(diào)區(qū)間;
(2)在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對邊,f(A)=2,a=3,b+c=3(b>c),求b、c的長.

分析 (1)根據(jù)向量的乘積運算法則,求出f(x)化簡成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;x∈[-π2π2]時,求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的取值最大和最小值,即得到f(x)的值域.
(2)利用f(A)=2,求出A的大小.利用余弦定理求解b,c的值.

解答 解:由題意:向量m=(2cosx,1),n=(cosx,3sin2x),
函數(shù)f(x)=mn=2cos2x+3sin2x
=1+2sin(2x+π6
最小正周期T=2πω=2π2=π
∴f(x)的最小正周期為π.
當x∈[-π2π2]時,2x+π6∈[-5π6,7π6],
三角函數(shù)的圖象和性質(zhì):
可得:當2x+π6=π2時,函數(shù)f(x)取得最大值為1+2=3,此時x=π6
當2x+π6=π2時,函數(shù)f(x)取得最小值為1-2=-1,此時x=π3
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得:
x在(-π2,-π3)和(π6π2)是單調(diào)減區(qū)間.
x在(-π3,π6)是單調(diào)增區(qū)間.
當x∈[-π2π2]時,函數(shù)的值域為[-1,3].
(2)由(1)可知f(x)=2sin(2x+π6)+1.
那么:f(A)=2,即:2sin(2A+π6)+1=2.
∵0<A<π
π6<2A+π613π6
∴2A+π6=5π6
解得:A=π3
由cosA=2+c2a22bc=12
∵a=3,b+c=3.
即:(b+c)2=9.
∴bc=2.
又b+c=3(b>c)
解得:b=2,c=1.
故得b的值為2,c的值為1.

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用能力,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.下列函數(shù)中為偶函數(shù)又在(0,+∞)上是增函數(shù)的是(  )
A.y=(12|x|B.y=x2C.y=|lnx|D.y=2-x

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

17.若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),且當x≥0時,f(x)=2x3x+1,則不等式f(3x-1)>1的解集為153+

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

14.設(shè)a,b∈R+,a+b-ab=0,若lnm2a+b的取值恒非正,則m的取值范圍是[-2,2].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

1.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,a4=10,且a3,a6,a10成等比數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)令bn=(-1)n•an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.已知函數(shù)f(x)=(3sinx+cosx)cosx-12
(Ⅰ)用五點作圖法作出函數(shù)f(x)在x∈[0,π]上的簡圖.
(Ⅱ)若f(α2+π6)=35,-π2<α<0,求sin(2α-π4)的值.
(III)若?x∈[0,π2],都有f(x)-c≤0,求實數(shù)c的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

18.已知函數(shù)f(x)=1+a•(13x+(19x
(1)當a=-2,x∈[1,2]時,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上都有-2≤f(x)≤3,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

15.函數(shù)f(x)=2x-x+2x1的零點個數(shù)為(  )
A.0B.1C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.若21(x-a)dx=3π40cos2xdx,則a等于(  )
A.-1B.1C.2D.4

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
闂傚倸鍊搁崐鐑芥嚄閼哥數浠氬┑掳鍊楁慨瀵告崲濮椻偓閻涱喛绠涘☉娆愭闂佽法鍣﹂幏锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾捐鈹戦悩鍙夋悙缂佺媭鍨堕弻銊╂偆閸屾稑顏�