Question

4．已知函數(shù)y=-$\sqrt{x+2}$（2≤x≤14），設(shè)其值域為集合A，集合B={x|y=lg[kx²+（2k-4）x+k-4]，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若A∪B=B，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域求解集合A．
（2）設(shè)g（x）=kx²+4x+k+3，B={x|g（x）＞0}．分k=0、k＞0、k＜0三種情況，分別求出實數(shù)k的取值范圍，取并集即得所求．

解答 解：（1）、函數(shù)y=-$\sqrt{x+2}$（2≤x≤14），因為函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以y∈[-4，-2]．
期A=[-4，-2]．
（2）由A∪B=B，即：A⊆B，
設(shè)g（x）=kx²+（2k-4）x+k-4，則由題意可得B={x|g（x）＞0}．
①當(dāng)k=0時，B=（-∞，-1]，滿足題意．
②當(dāng)k＞0時，注意到g（x）的圖象開口向上，A⊆B，可得：$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）＞0}\\{-\frac{2k-4}{2k}≥-2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）＞0}\\{-\frac{2k-4}{2k}≤-4}\end{array}\right.$，
解得：k＞0．
③當(dāng)k＜0時，由A∪B=B，即：B⊆A知$\left\{\begin{array}{l}{g（-4）＞0}\\{g（-2）＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{4}{3}$＜k＜0．
綜上可知，實數(shù)k的取值范圍為（-$\frac{4}{3}$，+∞）．

點評 本題主要考查集合中參數(shù)的取值問題，函數(shù)與方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，求對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．