Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=1，a₂+2a₃=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若存在常數(shù)M，使得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n＜M，則稱數(shù)列{c_n}是“上界和數(shù)列”．試判斷數(shù)列{a_n}是否是“上界和數(shù)列”，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}公比為q，代入已知可得q的方程，解q的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的求和公式易得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Tn=

a1(1-qn)

1-q

=2[1-(

1

2

)n]＜2，滿足新定義．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}公比為q，
∵a₂+2a₃=1，∴a1q+2a1q2=1，
∴2q²+q-1=0，解得q=

1

2

或q=-1，
∵數(shù)列{a_n}為各項(xiàng)為正數(shù)，
∴q=

1

2

，∴an=(

1

2

)n-1
（Ⅱ）記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
∴Tn=

a1(1-qn)

1-q

=2[1-(

1

2

)n]，
∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n＜2，
∴數(shù)列{a_n}是“上界和數(shù)列”

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及新定義，屬基礎(chǔ)題．