Question

4．古式樓閣中的橫梁多為木質(zhì)長方體結(jié)構(gòu)，當(dāng)橫梁的長度一定時(shí)，其強(qiáng)度與寬成正比，與高的平方成正比．現(xiàn)將一圓柱形木頭鋸成一橫梁（長度不變），當(dāng)高與寬的比值為$\sqrt{2}$時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．

Answer 1

分析 據(jù)題意橫梁的強(qiáng)度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強(qiáng)度系數(shù)為k，k＞0）建立起強(qiáng)度函數(shù)，求出函數(shù)的定義域，再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)取到最大值時(shí)的橫斷面的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)直徑為d，如圖所示，設(shè)矩形橫斷面的寬為x，高為y．由題意知，當(dāng)xy²取最大值時(shí)，橫梁的強(qiáng)度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍去）．
當(dāng)0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，f′（x）＞0；當(dāng)$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d時(shí)，f′（x）＜0，
因此，當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d時(shí)，f（x）取得極大值，也是最大值．
∴y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$d，∴$\frac{y}{x}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查據(jù)實(shí)際意義建立相關(guān)的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的特征選擇求導(dǎo)的方法來求最值．