Question

如圖，在平行四邊形ABCD，

AD

=a，

AB

=b，M為AB的中點，點N在DB上，且

DN

=t

NB

．
（1）當(dāng)t=2時，證明：M、N、C三點共線；
（2）若M、N、C三點共線，求實數(shù)t的值．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是向量共線定理，由在平行四邊形ABCD，

AD

=a，

AB

=b，M為AB的中點，點N在DB上，且

DN

=t

NB

．
（1）當(dāng)t=2時，

DN

=2

NB

，由M為AB中點，我們易得：

NC

=2

MN

，又由

NC

與

MN

有公共點N，故M，N，C三點共線；
（2）若M、N、C三點共線，得

NC

=λ

MN

（λ＞0），根據(jù)ABCD為平行四邊形，且M為AB的中點，我們易得到一個關(guān)于λ、t的方程，解方程后，即可求出滿足條件的t值．

解答：證明：（1）當(dāng)t=2時，

DN

=2

NB

，
有

NB

=

1

3

DB

=

1

3

(

AB

-

AD

)=

1

3

(b-a)，
又

MN

+

NB

=

MB

，
∴

MN

=

MB

-

NB

=

1

2

b-

1

3

(b-a)=

1

6

b+

1

3

a；

NC

=

DC

-

DN

=

AB

-2

NB

=b-

2

3

(b-a)=

1

3

b+

2

3

a，
則

NC

=2

MN

，

NC

與

MN

有公共點N，
于是M、N、C三點共線；
解：（2）由

DN

=t

NB

，
得

DN

=

t

t+1

DB

=

t

t+1

(b-a)，

NB

=

1

t+1

DB

=

1

t+1

(b-a)，

NC

=

DC

-

DN

=b-

t

t+1

(b-a)=

1

t+1

b+

t

t+1

a，

MN

=

MB

-

NB

=

1

2

b-

1

t+1

(b-a)=

t-1

2(t+1)

b+

1

t+1

a，
由M、N、C三點共線，得

NC

=λ

MN

，
∴

1

t+1

b+

t

t+1

a=

λ(t-1)

2(t+1)

b+

λ

t+1

a，
得

1

t+1

=

λ(t-1)

2(t+1)

，且

t

t+1

=

λ

t+1

，
解得t=2或t=-1（舍去）；
∴t=2．

點評：若A、B、P三點共線，O為直線外一點，則

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點共線在向量中最常用的證明方法和性質(zhì)，大家一定要熟練掌握．