Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x-m|+|x-2|．
（1）當m=1時，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若不等式f（x）≥4-x對?x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解即可．
（2）根據(jù)f（x）≥4-x恒成立，進行轉化，構造函數(shù)利用數(shù)形結合進行比較即可得到結論．

解答 解：（1）當m=1時，f（x）=|x-1|+|x-2|．
不等式f（x）≥3等價為|x-1|+|x-2|≥3．
若x≤1，則不等式等價為-（x-1）-（x-2）≥3，
即-2x≥0，得x≤0，此時x≤0，
若1＜x＜2，則不等式等價為x-1-（x-2）≥3，即1≥3，此時不等式無解，
若x≥2，則不等式等價為x-1+x-2≥3，
即2x≥6，得x≥3，此時x≥3，
綜上x≥3或x≤0，即不等式的解集為（-∞，0]∪[3，+∞）
（2）若不等式f（x）≥4-x對?x∈R恒成立，
即|x-m|+|x-2|≥4-x對?x∈R恒成立．
即|x-m|≥-|x-2|+4-x
設g（x）=-|x-2|+4-x，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，}&{x≤2}\\{-2x+6，}&{x＞2}\end{array}\right.$，
作出函數(shù)g（x）和h（x）=|x-m|的圖象如圖：
若h（x）≥g（x）恒成立，
則只要h（2）≥2且m≥3，
即|2-m|≥2，且m≥3，
得m≥4或m≤0，
∵m≥3，
∴m≥4，
即實數(shù)m的取值范圍[4，+∞）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題，利用分類討論和數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決本題的關鍵．