Question

（06年上海卷理）（18分）

已知函數(shù)＝＋有如下性質(zhì)：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．

（1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域為6，＋∞，求的值；

（2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；

（3）對函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

Answer 1

解析：（1）函數(shù)y=x+(x>0)的最小值是2，則2=6, ∴b=log₂9.

      (2)  設012,y₂－y₁=.

            當12時, y₂>y₁, 函數(shù)y=在[,+∞)上是增函數(shù)；

            當012<時y₂1, 函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù).

         又y=是偶函數(shù)，于是，

該函數(shù)在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)；

     (3) 可以把函數(shù)推廣為y=(常數(shù)a>0),其中n是正整數(shù).

        當n是奇數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),

                                   在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù)；

        當n是偶數(shù)時,函數(shù)y=在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),

                                   在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)；

        F(x)=+

           =

        因此F(x) 在 [,1]上是減函數(shù),在[1,2]上是增函數(shù).

        所以，當x=或x=2時，F(xiàn)(x)取得最大值()ⁿ+()ⁿ；

              當x=1時F(x)取得最小值2ⁿ⁺¹；