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13.已知函數(shù)fx=a1x是定義在(0,+∞)上的函數(shù).
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若函數(shù)y=f(x)在[m,n]上的值域是[2m,2n](m<n),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若不等式x2|f(x)|≤1對x[1312]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)直接用定義法證明;
(2)將題目條件轉(zhuǎn)化為2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不等的根,然后結(jié)合判別式求解;
(3)由x2|f(x)|≤1,令1x=t,t∈[2,3],用換元法化簡不等式.

解答 (1)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=(a-1x1)-(a-1x2)=x1x2x1x2<0.
∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)解:由(1)知y=f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增,
{fm=2mfn=2n,
∴m,n是f(x)=2x,即a-1x=2x的兩個不等的正根,
∴2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不等的根,
{a0a280,解得a>22;
(3)解:由x2|f(x)|≤1,得1x1x2≤a≤1x+1x2,
1x=t,t∈[2,3],
則t-t2≤a≤t+t2
∴-2≤a≤6,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,6].

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題,考查了單調(diào)性證明的方法、單調(diào)性的應(yīng)用、換元法及等價轉(zhuǎn)化的思想,是中檔題.

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