分析 (1)直接用定義法證明;
(2)將題目條件轉(zhuǎn)化為2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不等的根,然后結(jié)合判別式求解;
(3)由x2|f(x)|≤1,令1x=t,t∈[2,3],用換元法化簡不等式.
解答 (1)證明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=(a-1x1)-(a-1x2)=x1−x2x1x2<0.
∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)解:由(1)知y=f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增,
∴{f(m)=2mf(n)=2n,
∴m,n是f(x)=2x,即a-1x=2x的兩個不等的正根,
∴2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有兩個不等的根,
∴{a>0a2−8>0,解得a>2√2;
(3)解:由x2|f(x)|≤1,得1x−1x2≤a≤1x+1x2,
令1x=t,t∈[2,3],
則t-t2≤a≤t+t2,
∴-2≤a≤6,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2,6].
點(diǎn)評 本題考查恒成立問題,考查了單調(diào)性證明的方法、單調(diào)性的應(yīng)用、換元法及等價轉(zhuǎn)化的思想,是中檔題.
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A. | (-∞,-2) | B. | (-∞,-2] | C. | (-∞,4) | D. | (4,+∞) |
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A. | <b<c | B. | a<c<b | C. | c<a<b | D. | c<b<a |
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