Question

【題目】設集合，其中.

（1）寫出集合中的所有元素；

（2）設，證明“”的充要條件是“”

（3）設集合，設，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.

【解析】

（1） 根據題意，直接列出即可

（2） 利用的和的符號和最高次的相同，利用排除法可以證明。

（3） 利用（2）的結論完成（3）即可。

（1）中的元素有，，，。

（2）充分性：當時，顯然

成立。

必要性：

若=1，則

若=，則

若的值有個1，和個。不妨設2的次數最高次為次，其系數為1，則

，說明只要最高次的系數是正的，整個式子就是正的，同理，只要最高次的系數是負的，整個式子就是負的，說明最高次的系數只能是0，就是說，即

綜上“”的充要條件是“”

（3）

等價于

等價于

由（2）得“=”的充要條件是“”

即“=”是“” 的充要條件