Question

19．如圖所示是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到255個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則最小正方形的邊長為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出正方形個(gè)數(shù){a_n}是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，從而得到正方形個(gè)數(shù)為8，再推導(dǎo)出第一個(gè)正方形的邊長{b_n}是以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為首項(xiàng)，公比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的等比數(shù)列，由此能求出最小的正方形的邊長．

解答 解：設(shè)初始正方形個(gè)數(shù)為a₁=1，依次得到a₂=2，a₃=4，
每一個(gè)正方形都可以得到2個(gè)正方形，
∴滿足$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，是以首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴正方形個(gè)數(shù)的和為${s_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}=255$，解得n=8，
第一個(gè)正方形的邊長設(shè)為${b_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，然后滿足$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是以$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$為首項(xiàng)，公比為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的等比數(shù)列，
∴${b_8}={b_1}•{q^{8-1}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^7}={（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）^8}=\frac{1}{16}$，
∴最小的正方形的邊長為$\frac{1}{16}$．
故答案為：$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最小正方形的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．