Question

11．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${a_1}＞\frac{3}{2}$，${a_{n+1}}={a_n}^2-{a_n}+1$，且$\sum_{i=1}^{2017}{\frac{1}{a_i}}=2$，則4a₂₀₁₈-a₁的最大值為-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先由數(shù)列的遞推公式得到$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$，再用累加法求出得$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，根據(jù)$\sum_{i=1}^{2017}{\frac{1}{a_i}}=2$，得到a₂₀₁₈=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2{a}_{1}-3}$，
再根據(jù)基本不等式即可求出最值．

解答 解：∵${a_{n+1}}={a_n}^2-{a_n}+1$，
∴a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$，
$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$，
…，
累加可得$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∵$\sum_{i=1}^{2017}{\frac{1}{a_i}}=2$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$=2，
∴$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-2=$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$，
即a₂₀₁₈=$\frac{{a}_{1}-1}{3-2{a}_{1}}$+1=$\frac{-\frac{1}{2}（2{a}_{1}-3）+\frac{1}{2}}{3-2{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2{a}_{1}-3}$，
∵a₁＞$\frac{3}{2}$，
∴2a₁-3＞0，
∴4a₂₀₁₈-a₁=2-$\frac{2}{2{a}_{1}-3}$-a₁=2-（$\frac{2}{2{a}_{1}-3}$+$\frac{2{a}_{1}-3}{2}+\frac{3}{2}$）≤2-2$\sqrt{\frac{2}{2{a}_{1}-3}•\frac{2{a}_{1}-3}{2}}$-$\frac{3}{2}$=2-2-$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a₁=$\frac{5}{2}$取等號(hào)，
故答案為：$-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用累加法求出{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和，屬于中檔題