Question

5．現需設計2016年春季湖北省重點高中聯考協作體期中考試數學試卷，該試卷含有大小相等的左右相等兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為720cm²，四周空白的寬度為4cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為2cm，設試卷的高和寬分別為xcm，ycm．
（Ⅰ）寫出y關于x的函數表達式，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）如何確定該試卷的高與寬的尺寸（單位：cm），能使試卷的面積最�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）設試卷的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x-8，$\frac{y-10}{2}$，其中x＞8，y＞10，利用兩欄的面積之和為720cm²，建立方程，即可寫出y關于x的函數表達式，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）試卷的面積S=xy=x（$\frac{720}{x-8}$+10），利用導數確定函數的單調性，即可得出結論．

解答 解：由題意知試卷的高和寬分別為xcm，ycm，則每欄的高和寬分別為x-8，$\frac{y-10}{2}$，其中x＞8，y＞10…（1分）
（I）兩欄面積之和為2（x-8）•$\frac{y-10}{2}$=720…（3分）
由此得y=$\frac{720}{x-8}$+10（x＞8）…（5分）
（II）試卷的面積S=xy=x（$\frac{720}{x-8}$+10）…（7分）
∴S′=$\frac{-5760}{（x-8）^{2}}$+10…（8分）
令S′=0，x=32（負數舍去）…（10分）
∴函數在（8，32）上單調遞減，在（32，+∞）上單調遞增
∴x=32，S取得最小值…（12分）
故：當試卷的高為32cm，寬為40cm時，可使試卷的面積最�。�

點評 本題主要考查了導數在最值問題中的應用，考查學生的計算能力，正確確定函數關系式是關鍵．