已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a，且不等式f(x)＞－2x的解集為(1，3)．

(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍．

答案：
解析：

　　思路分析：根據(jù)二次函數(shù)的特征與方程根的關(guān)系和系數(shù)關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識綜合解決．由不等式的解集確定出f(x)的范圍，又因為方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的根，所以此方程的判別式等于0，聯(lián)立方程結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可解．

　　解：(1)因為f(x)＋2x＞0的解集為(1，3)，f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a＜0，

　　因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a　　①

　　由方程f(x)＋6a＝0得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0　　②

　　因為方程②有兩個相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，

　　即5a2－4a－1＝0．解得a＝1或a＝．

　　由于a＜0，舍去a＝1．將a＝代入①得f(x)的解析式為

　　f(x)＝x2x－．

　　(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x)2及a＜0，可得f(x)的最大值為．

　　由解得a＜－2－或－2＋＜a＜0．

　　故當(dāng)f(x)的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+
1
2
滿足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）在定義域（-1，t]上的值域為（-1，1]，求t的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m、n（m＜n），使f（x）定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，函數(shù)y=f(x)+
2
3
x-1的圖象過原點且關(guān)于y軸對稱，記函數(shù) h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=
1
10
時，求函數(shù)y=h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當(dāng)a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）若方程g（x）=x的兩實根為x1，x2f（x）=0的兩根為x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=
-x2-x+2
的定義域為A，若對任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，則實數(shù)k的最小值為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不相等的實根，當(dāng)a＞0時判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)b=2a時，問是否存在x的值，使?jié)M足-1≤a≤1且a≠0的任意實數(shù)a，不等式f（x）＜4恒成立？并說明理由．

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